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Arrow cours de physique...classe prparatoire

cours 1 flux de vecteur - th. de Gauss le vecteur surface S est perpendiculaire la surface. le flux F s'exprime en Vm
E en Vm-1 et S en m
th. de Gauss Le flux du champ lectrique travers une surface ferme est gal :
e0 permittivit du vide =8,85 10-12 Fm-1.
qi charges intrieures S qs charges superficielles portes par S
charges (coulomb)

potentiel lectrique potentiel V en volt
gradient d'un scalaire V: c'est un vecteur dont les composantes sont les drives partielles de V par rapport x,y,z.
retour - menu
application 1 Champ et potentiel lectrique d'une sphre charge en volume La sphre S de rayon R porte la charge volumique uniforme r. par raison de symtrie le champ est radial
champ lectrique :(point extrieur) flux envoy travers la sphre S de rayon r.
dfinition du flux : F= 4pr2E
th. de gauss : charge intrieure S= charge de S =4/3 pR3r.
F= 4/(3e0) pR3r
E = R3r/(3e0r2) potentiel lectrique :

Q=charge de S ; la constante est nulle (potentiel nul si r tend vers l'infini)
tout ce passe comme si la charge tait concentre au centre de la sphre
point intrieur : mme calcul
E = rr/(3e0) ; potentiel : r/(2e0)(-r/3+ R)


retour - menu application 2 champ et potentiel cre par un cylindre infini Calculer le champ et le potentiel cres par un cylindre infini, de rayon R, portant une densit volumique de charge r constante.

corrig
flux de E travers S. En tout point de la surface latraleS, par raison de symtrie, le champ est radial et a mme module. Le flux de ce vecteur travers la surface latrale de longueur h est E 2pxh.
En tout point de S1 ou S2 le vecteur E est normale au vecteur surface : le flux de E est nul travers les 2 ********s.
charge intrieure au cylindre S de rayon x :
x < r : Q=pxhr.
x >= r : Q=prhr.
th de Gauss :
E 2prh = Q/e0.
x < r : E= xr / (2e0)
x >= r : E= rr / (2e0x)
origine des potentiels, l'axe du cylindre potentiel lectrique

si x > r : V = -rr / (2e0) ln(x) + Cte.
Comment trouver la constante d'intgration ?
lors de la traverse de la surface du cylindre de rayon r, V est continu.
V =-rr / (4e0) (1+2ln(x/r) )
application 3 champ et potentiel cre par un disque Le disque est uniformment charg en surface , s densit surfacique. Dterminer le champ et le potentiel cre en un point de l'axe du cot des charges. corrig
L'lment de surface dS du disque porte la charge dq = sdS et cre en M (OM=x) le potentiel dV champ
le champ rsultant est dirig vers le disque si la charge est ngative.
application 4 Un petit disque au dessus d'une sphre
  1. Calculer la charge totale Q et la densit superficielle s d'une sphre conductrice S de rayon R=50 cm, porte au potentiel V=100 kV.
  2. Un petit disque mtallique (r=1 cm, m=0,1g paisseur ngligeable) est plac au sommet de la sphre. A quel potentiel faut-il porter la sphre pour que le disque se soulve ?
  3. La sphre est porte au potentiel V1=510 kV. Le disque atteint une position d'quilibre une hauteur z au dessus de la sphre. Calculer z.
  4. Le disque est maintenu dans la position prcdente. calculer les densits superficielles des 2 faces du disque.
corrig
charge (coulomb) = surface sphre (m) fois densit superficielle(Cm-2) Q=4pRs.
potentiel V = Q / (4pe0R) = Rs /e0
d'o s = 105**8,85 10-12 /0,5 = 1,77 10-6 Cm-2 et Q= 5,56 10-6 C champ lectrique et force
A l'intrieur d'un conducteur en quilibre le champ est nul.
A la surface d'un conducteur en quilibre le champ vaut s/(2e0).
Au voisinage, l'extrieur de la surface d'un conducteur , le champ E est normale la surface, a pour valeurs/e0. Il est dirig vers la surface si les charges sont ngatives et vers l'extrieur si elles sont positives.
Le disque prend une charge de densit s (charge disque q = spr)au contact de la sphre. Ce disque est soumis une force F colinaire au champ et de mme sens,
de valeur qE= s2 pr/(2e0) avec s= Ve0 /R
F = e0pr V/(2R)
Le disque se soulve ds que cette force est suprieure au poids du disque( mg).
d'o la valeur limite de V : V= 2mgR / (e0pr)
V= 425 kVLe disque se soulve d'une hauteur h au dessus de la sphre emportant la charge spr.
Compte tenu des dimensions du disque la charge de la sphre n'est gure modifie. La sphre cre cette hauteur h un champ E de valeur
E= 1/ (4pe0) Q/(R+z) = RV1 / (R+z)
Le disque atteind une position d'quilibre lorsque la force lectrique sprE est gal au poids du disque
sprRV1 / (R+z)= mg avec s= V1e0 /R
(R+z)= pe0V1r /(mg) d'o z=0,35 m
les charges s' : densit surfacique face suprieure
s'' : densit surfacique face suprieure
s' s + s'' s = s s
s' + s'' = s =V1e0 /R (1)
les champs en O
E1 : du aux charges infrieures du disque mince : s' /(2e0) E2 : du aux charges de la sphre : RV1 / (R+z)
E3 : du aux charges suprieures du disque mince : s'' /(2e0)
l'intrieur du disque , le champ est nul:
(-s'' + s')/(2e0) + RV1 / (R+z) =0 (2)
rsoudre le systme de deux quations.
s''=7,44 mCm-2.
s'=1,58 mCm-2











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